Alltagsnäherungen

Wir rechnen im Alltag ja selten etwas exakt aus, weil es meist unnötig ist – in der Regel genügen uns Überschläge und Näherungen.
Man sollte seinen Kopf auch daraufhin etwas trainieren, um Taschenrechnerergebnisse zumindest nach der Größenordnung hin zu kontrollieren.
Man vertippt sich leicht – besonders mit den Nullen. 😉

Beispiel Durchschnittsverbrauch des Autos.
Wenn ich mein Auto vollgetankt habe, rechne ich gewohnheitsmäßig den ungefähren Durchschnittsverbrauch aus.
Natürlich mache ich das während der anschließenden Fahrt und als meist gesetzestreuer Bürger fummele ich dazu nicht
am Handy oder Taschenrechner herum, sondern überschlage den Verbrauch im Kopf.

Kürzlich tankte ich 35 Liter, die zurückgelegte Strecke betrug 390 km.
35/390 rechnet sich, zumindest wenn man kein Kopfrechenakrobat ist, doch etwas zäh, insbesondere während der Fahrt.
Also ändere ich die Aufgabe leicht ab und rechnete locker den Verbauch 36/400 = 9l /100 km aus.

Natürlich meldet sich da sofort der diabolus mathematicus und fängt an unangenehme Fragen zu stellen.
Also mal angenommen,  statt 35/39 rechnest du nun (35+1) /(39+1). Zähler und Nenner des Bruchs wurden also um eins vergrößert.
Wurde das genäherte Ergebnis dann größer oder kleiner als die exakte Lösung?
Und wie wäre das für 43/39 gewesen, wenn du statt dessen 44/40 gerechnet hättest? Wird das Näherungsergebnis größer oder kleiner?
Nach kurzem Nachdenken konnte ich beide Fragen ohne Rechnung beantworten – Sie auch?

Der Teufel bohrte natürlich weiter. „Wie groß ist denn der Fehler bei solchen Näherungen?“
Dafür hatte ich aber gleich eine Antwort:
Es gibt einen absoluten und einen relativen Fehler, aber egal welchen man berechnet, man muss dabei eine Taylorentwicklung vornehmen.
Ändert man nur den Zähler oder nur den Nenner, genügt es eine Taylorentwicklung in einer Variablen vorzunehmen (f(x) = x/c bzw f(y) = c/y, c konstant ),
ändert man aber beide, so
muss man eine Taylorentwicklung der Funktion f(x,y) = x/y berechnen.
Aber in beiden Fällen brauche ich dazu Stift und Papier, geht also nicht beim Autofahren.

Ok, die Taylorentwicklung der reinen Zähleränderung schafft man gerade noch so im Kopf.
f(x+d) = (x+d)/c = x/c + d/c = f(x) + absoluter Fehler , dieser ist also d/c. Oben : d=1.
Beispiel : |35/40 – 36/40 | = 1/40.

Beim Nenner wirds schon kniffliger (f(y+d) = c/(y+d) = f(y) + ???? )
und bei Änderung beider sollten Sie auch schon Funktionen von zwei Variablen differenzieren können.

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Pi ist eine transzendente Zahl mit unendlich vielen Stellen … 

Wie rechneten die Handwerker, bevor es Taschenrechner gab, schnell den Umfang eines Kreises aus?
Sie nahmen den Durchmesser des Kreises mal drei und schlugen auf das Ergebnis 5% drauf.
Wie groß war der Fehler dabei ungefähr?
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